Darstellungen von Daten und Rechenoperationen

aus der Vorlesung Rechnertechnik vom 15.02.2018

---

Bearbeitung der Übung

Lösung aus der Vorlesung:

 1:  CLA;       # Setze Akku zu 0.
 2:  STR 4711;  # Speichere Akku-Inhalt an Adresse 4711.
 3:  INA;       # Lese Zahl in Akku.
 4:  SKZ 8:;    # Falls Akku = 0, springe zu 8:
 5:  ADD(4711); # Addiere Inhalt von Adresse 4711 zu Akku
 6:  STR 4711;  # Speichere Akku-Inhalt an Adresse 4711.
 7:  SKP 3:;    # Springe zur Adresse 3:
 8:  ADD(4711); # Lade die Summe aus Adresse 4711 in Akku.
 9:  OUT;       # Gebe die Summe aus.
10:  HLT;       # (halt) Stoppe die Ausführung.

Optimierte Version (powered by Fabian):

def     sum = 4711

        INA;
        SKZ end2;
loop:   STR sum;
        INA;
        SKZ end1;
        ADD(sum);
        SKP loop;
end1:   ADD(sum);
end2:   OUT;
        HLT;

Das Maschinenprogramm wird besser verständlich, wenn man für die Speicheradressen den Namen einer Variablen (sum) und für die Sprungadressen ebenfalls Namen, sogenannte “labels” einführt.

Dieses Vorgehen hat außerdem den Vorteil, dass absolute Speicheradressen bei Änderungen des Programms nicht gesondert gepflegt werden müssen; dadurch wird eine Fehlerquelle vermieden.
Man nähert sich damit einem richtigen Assemblerprogramm.

Daten und Operationen in einem Prozessor

Architekturen, somit Hardware ist auf wenige, genau spezifizierte Informationsdarstellungen abgestimmt. Diese Informationsdarstellungen nennt man Daten. Man unterscheidet folgende Arten von Daten:

• Verarbeitungsdaten
  • Festpunktzahlen
  • Gleitpunktzahlen
  • Zeichen
• Programmdaten
  • Befehle
  • Speicheradressen
• Steuerdaten
  • Steuersignale
  • Programmstatusworte

Zur rechnerinternen Darstellung von Informationen werden physikalische Größen verwendet, die unterschiedliche Zustände annehmen können, z.B.:

• hohe oder niedrige Spannung auf einer Leitung
• hoher oder niedriger Strom in einer Leitung
• “Nord”- und “Süd”-Magnetisierung auf einem magnetischen Medium
• elektrische Ladung oder keine elektrische Ladung im Kondensator einer Speicherzelle

$\Rightarrow$ 2 Zustände $\rightarrow$ binäre Zustände

Aufbau von Daten

Ein Maschinenwort ist eine geordnete endliche Folge von Binärzeichen, die ein Element aus einer Menge von Daten kodiert.

Gängige Wortlängen sind:

Wortlänge	Abkürzung
1	Bit
3	Triade
4	Nibble, Tetrade
8	Byte

Als Zählereinheit für die Größe eines Speichers werden in der Regel Byte, Wort (2 Byte) oder Doppelwort (4 Byte) verwendet.

Die Zählereinheiten werden mit Vorfaktoren versehen:

Vorfaktor-Abkürzung	Faktor	dezimale Größenordnung
k (kilo)	$2^{10} = 1\,024$	Tausend $10^3$
M (Mega)	$2^{20} = 1\,048\,576$	Million $10^6$
G (Giga)	$2^{30} = 107\,371\,824$	Milliarde $10^9$ (engl. billion)
T (Tera)	$2^{40} = 1\,099\,511\,627\,776$	Billion $10^{12}$ (engl. trillion)

Verarbeitungsdaten

Intern arbeiten digitale Rechner mit dem Dual- oder Binärsystem. Für die Ein-/Ausgabe werden als Zahlensysteme neben dem Dezimalsystem (Basis $10$) auch das Dual- (Basis $2$), das Oktal- (Basis $8$) oder das Hexadezimalsystem (Basis $16$) verwendet.

Für die Darstellung von Informationen gilt allgemein:

Jedes $z \in \mathbb{N}$ ist zu einer gegebenen Zahl $b \in \mathbb{N}$ eindeutig mit $n$ Ziffern darstellbar, wenn

$z \le b^n - 1$

ist.

Beispiel: $n = 8, \, b = 2 \quad \Rightarrow \; z \le 2^8 - 1 = 255$
Sei $z = 250$, dann ist

$z = \sum_{i = 0}^{n - 1} \; z_i b^i \quad \text{mit} \; z_i \in \{0, 1, \ldots, b - 1\}.$
angewendet $\quad 250_d = z_7 \cdot 2^7 + z_6 \cdot 2^6 + z_5 \cdot 2^5 + z_4 \cdot 2^4 +$
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad z_3 \cdot 2^3 + z_2 \cdot 2^2 + z_1 \cdot 2^1 + z_0 \cdot 2^0$
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 +$
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$
$\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad = 11111010_b.$

Verfahren zur Umrechnung zwischen Zahlensystemen

Eine Zahl wird zu einer Zahl in $b$-adischer Darstellung (Basis $b$) durch sukzessive Division durch $b$, der jeweilige Rest ist dann die Ziffer $z_i$ in der $b$-adischen Darstellung. Das $n$-Tupel $(z_{n - 1}, z_{n - 2}, \ldots, z_0)$ heißt $b$-adische Darstellung von $z$.
Beispiel: $z_{10} = 2629_d \rightarrow z_{16} = \; ?$ (konvertiere Dezimalzahl in Hexadezimalzahl)

Schritt 0: $2629 \div 16 = 164 \quad (\text{Rest} \ \ \ 5) \quad \Rightarrow z_0 = 5$
Schritt 1: $\ \ 164 \div 16 = \ \ 10 \quad (\text{Rest} \ \ \ 4) \quad \Rightarrow z_1 = 4$
Schritt 2: $\ \ \ \ 10 \div 16 = \ \ \ \ 0 \quad (\text{Rest} \ 10) \quad \Rightarrow z_2 = A$
$z_3 = z_4 = \ldots = z_{n - 1} = 0$

$\Rightarrow 2629_d = 0A45_h \quad \leftarrow$ Die Zahlen $10$ bis $15$ werden im Hex-System durch die Ziffern $A$ bis $F$ dargestellt.

Übung: $z_{10} = 5384_d \rightarrow z_{16} = \; ?$
$5384 \div 16 = 336 \quad (\text{Rest} \ 8) \quad \Rightarrow z_0 = 8$
$\ \ 336 \div 16 = \ \ 21 \quad (\text{Rest} \ 0) \quad \Rightarrow z_1 = 0$
$\ \ \ \ 21 \div 16 = \ \ \ \ 1 \quad (\text{Rest} \ 5) \quad \Rightarrow z_2 = 5$
$\ \ \ \ \ \ 1 \div 16 = \ \ \ \ 0 \quad (\text{Rest} \ 1) \quad \Rightarrow z_3 = 1$

$\Rightarrow z_{16} = 5384_d = \underline{1508_h}$

Umgekehrt wird eine $b$-adische Zahl zu einer Dezimalzahl $z_d$ durch die Berechnung von

$z_d = \sum_{i = 0}^{n - 1} \; z_i b^i.$

gegeben $z_h = 0A45_h:$
$z_d = 10 \cdot 16^2 + 4 \cdot 16^1 + 5 \cdot 16^0$
$\quad \ = 2560 + 64 + 5$
$\quad \ = 2629$

In allen Zahlensystemen lassen sich die Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division mit dem vom Dezimalsystem bekannten Verfahren ausführen, d.h. stellenweises Rechnen mit Überträgen und Borger.